题目内容
给出下列命题：
①若函数f（x）=asinx+cosx的一个对称中心是(
，0)，则a的值等于-
；
②函数f（x）=cos（2x+
）在区间[0，
]上单调递减；
③若函数f(x)=sin(2x+
)的图象向左平移a（a＞0）个单位后得到的图象与原图象关于直线x=
对称，则a的最小值是
；
④已知函数f（x）=sin（2x+ϕ） （-π＜ϕ＜π），若-|f（
）|≤f（x） 对任意x∈R恒成立，则：φ=
或-
．
其中正确结论的序号是 ．
①若函数f（x）=asinx+cosx的一个对称中心是(
| π |
| 6 |
| 3 |
②函数f（x）=cos（2x+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
③若函数f(x)=sin(2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
④已知函数f（x）=sin（2x+ϕ） （-π＜ϕ＜π），若-|f（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
其中正确结论的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：利用三角函数的图象和性质即可判断出．
解答：
解：①若函数f（x）=asinx+cosx的一个对称中心是(
，0)，则0=asin
+cos
，化为
a+
=0，解得a=-
，因此正确；
②函数f（x）=cos（2x+
）=-sin2x，∵x∈[0，
]，∴2x∈[0，π]，因此函数f（x）在区间[0，
]上不具有单调性，因此不正确；
③若函数f(x)=sin(2x+
)的图象向左平移a（a＞0）个单位后得到y=sin[2(x+a)+
]=sin(2x+2a+
)，因为此图象与原图象关于直线x=
对称，
∴sin(2x+2a+
)=f（π-x）=sin[2(π-x)+
]=sin(-2x+
)，
∴2x+2a+
=kπ+(-1)k(-2x+
)，
当k=2n-1（n∈Z）时，化为2a=(2n-1)π-
，当n=1时，a取得最小值
．
当k=2n（n∈Z）时，化为4x+2a=2nπ，此时不符合题意，应舍去．
可知a的最小值是
，正确；
④∵-|f（
）|≤f（x） 对任意x∈R恒成立，∴f(
)=sin(
+Φ)=±1．
∵-π＜ϕ＜π，∴Φ=
或-
．因此正确．
综上可知：只有①③④正确．
故答案为：①③④．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
②函数f（x）=cos（2x+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
③若函数f(x)=sin(2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴sin(2x+2a+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴2x+2a+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
当k=2n-1（n∈Z）时，化为2a=(2n-1)π-
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
当k=2n（n∈Z）时，化为4x+2a=2nπ，此时不符合题意，应舍去．
可知a的最小值是
| π |
| 6 |
④∵-|f（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∵-π＜ϕ＜π，∴Φ=
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
综上可知：只有①③④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了三角函数的图象和性质，属于难题．
练习册系列答案
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