Question

已知等差数列{a_n}的首项为1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

n2

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n及

Sn

n

的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=

n2

anan+1

=

n2

(2n-1)(2n+1)

=

1

4

+

1

8

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出S_n，再利用二次函数的单调性即可得出

Sn

n

的取值范围．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的首项为1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴

a

2 2

=a1•a5，∴（1+d）²=1×（1+4d），化为d²-2d=0，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=

n2

anan+1

=

n2

(2n-1)(2n+1)

=

1

4

+

1

8

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

n

4

+

1

8

（1-

1

2n+1

）=

n

4

+

1

4(2n+1)

．
∴

Sn

n

=

1

4

+

1

4(2n+1)n

≤

1

4

+

1

12

=

1

3

．当且仅当n=1时取等号，同时

Sn

n

＞

1

4

．
∴

Sn

n

的取值范围是（

1

4

，

1

3

]．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．