Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）已知数列{b_n}是等差数列，T_n为{b_n}的前n项和，且b₁=a₁+a₂+a₃，b₃=a₃，求T_n的最大值．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知可得{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，然后直接利用等比数列的通项公式和前n项和得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的通项公式和前n项和求得等差数列{b_n}的公差d，代入等差数列的前n项和公式后利用二次函数求得最值．

解答： （Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=3a_n，
可得{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴an=3n-1，
Sn=

1×(1-3n)

1-2

=

1

2

(3n-1)；
（Ⅱ）由b₁=a₁+a₂+a₃=S₃=

1

2

(33-1)=13，b₃=9，
得等差数列{b_n}的公差d=

b3-b1

2

=

9-13

2

=-2，
∴Tn=13n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n2+14n．
当n=7时，T_n有最大值49．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，考查了等差数列的性质，训练了二次函数最值的求法，是基础的计算题．