Question

9．已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整数a₁，a₂，…，a_m，使得a₁a₂，a₂a₃，…，a_m-1a_m，a_ma₁同时小于k，则记f（k）为满足条件的m的最大值．
（1）求f（6）的值；
（2）对于给定的正整数n（n＞1），
（ⅰ）当n（n+2）＜k≤（n+1）（n+2）时，求f（k）的解析式；
（ⅱ）当n（n+1）＜k≤n（n+2）时，求f（k）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意，取a₁=1，a₂=2，a₁a₂＜6，满足题意，若?a₃≥3，则必有a₂a₃≥6，不满足题意，即可得出m的值．
（2）由题意，当n（n+1）＜k≤（n+1）（n+2）时，设A₁={1，2，…，n}，A₂={n+1，n+2，n+3，…}，通过分析可得：f（k）≤2n，
（ⅰ）当n（n+2）＜k≤（n+1）（n+2）时，取一串数a_i为：1，2n，2，2n-1，3，2n-2，…，n-1，n+2，n，n+1，可得f（k）=2n．
（ⅱ）当n（n+1）＜k≤n（n+2）时，从A₁中选出的n个a_i：1，2，…，n，考虑数n的两侧的空位，填入集合A₂的两个数a_p，a_q，不妨设na_p＞na_q，则na_p≥n（n+2）≥k，与题意不符，可得：f（k）≤2n-1．

解答 解：（1）由题意，取a₁=1，a₂=2，a₁a₂＜6，满足题意，
若?a₃≥3，则必有a₂a₃≥6，不满足题意，
综上所述：m的最大值为2，即f（6）=2．　…（4分）
（2）由题意，当n（n+1）＜k≤（n+1）（n+2）时，
设A₁={1，2，…，n}，A₂={n+1，n+2，n+3，…}，
显然，?a_i，a_i+1∈A₁时，满足a_ia_i+1≤n（n-1）＜n（n+1）＜k，
∴从集合A₁中选出的a_i至多n个，?a_j，a_j+1∈A₂时，a_ja_j+1≥（n+1）（n+2）≥k，
∴从集合A₂中选出的a_j必不相邻，
又∵从集合A₁中选出的a_i至多n个，
∴从集合A₂中选出的a_j至多n个，放置于从集合A₁中选出的a_i之间，
∴f（k）≤2n，…（6分）
（ⅰ）当n（n+2）＜k≤（n+1）（n+2）时，
取一串数a_i为：1，2n，2，2n-1，3，2n-2，…，n-1，n+2，n，n+1，
或写成${a_i}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{i+1}{2}，i为奇数}\\{2n+1-\frac{i}{2}，i为偶数}\end{array}}\right.$，（1≤i≤2n），
此时a_ia_i+1≤n（n+2）＜k，（1≤i≤2n-1），a_2na₁=n+1＜k，满足题意，
∴f（k）=2n，…（8分）
（ⅱ）当n（n+1）＜k≤n（n+2）时，
从A₁中选出的n个a_i：1，2，…，n，考虑数n的两侧的空位，填入集合A₂的两个数a_p，a_q，不妨设na_p＞na_q，则na_p≥n（n+2）≥k，与题意不符，
∴f（k）≤2n-1，
取一串数a_i为：1，2n-1，2，2n-2，3，2n-3，…，n-2，n+2，n-1，n+1，n
或写成${a_i}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{i+1}{2}，i为奇数}\\{2n-\frac{i}{2}，i为偶数}\end{array}}\right.$，（1≤i≤2n-1），
此时a_ia_i+1≤n（n+1）＜k，（1≤i≤2n-2），a_2n-1a₁=n＜k，满足题意，
∴f（k）=2n-1．…（10分）

点评 本题考查了递推关系、构造法球数列的通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．