Question

6．如图，点P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的一个动点，设$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AE}$，则x+y的最大值为2．

Answer 1

分析 设六边形边长为1，把向量$\overrightarrow{AB}$，和向量$\overrightarrow{AE}$，沿着AD方向和垂直于AD两个方向分解．设AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴距离坐标系，得到$\overrightarrow{AP}$的坐标，分析x+y取最大值时P的位置．

解答 解：六边形边长为1，把向量$\overrightarrow{AB}$和向量$\overrightarrow{AE}$，沿着AD方向和垂直于AD两个方向分解．
设AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴如图：
那么$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OC}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OE}$
=（-$\frac{1}{2}$，-1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）y），
所以，当$\overrightarrow{AP}$的横坐标最小的时候，x+y最大．
那么，当P与D重合时，满足这一条件．
此时AP=2，x+y=2；最大值为2；
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算；关键是适当建立坐标系，得到向量的坐标．