Question

已知四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC=2，且底面ABCD是边长为1的正方形．E是最短的侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求证：P、A、B、C、D五点在同一个球面上，并求该球的体积；
（Ⅱ）如果点F在线段BD上，DF=3BF，EF∥平面PAB，求

PE

EC

的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,球的体积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设PA的中点为M，证明CM=PM=AM=BM=DM，即可得出结论；
（Ⅱ）连接CF并延长交AB于K，连接PK，则利用线面平行的性质，可得EF∥PK，利用DF=3BF，AB∥CD，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）证明：设PA的中点为M，则
∵△PAC为直角三角形，
∴CM=PM=AM=

6

2

．
设正方形ABCD的中心为点O，则OM∥PC，OM=1且PC⊥底面ABCD，
∴OM⊥底面ABCD，
∵O为BD的中点，
∴BM=DM=

6

2

，
∴CM=PM=AM=BM=DM，
∴P、A、B、C、D五点在以M为球心，半径为

6

2

的同一个球面上，球的体积为

4

3

π•(

6

2

)3=

6

π；
（Ⅱ）解：连接CF并延长交AB于K，连接PK，则
∵EF∥平面PAB，EF?面PCK，面PCK∩平面PAB=PK，
∴EF∥PK，
∵DF=3BF，AB∥CD，
∴CF=3KF，
∵EF∥PK，
∴CE=3PE，
∴

PE

EC

=

1

3

．

点评：本题考查线面平行的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．