Question

已知函数f（x）=x-2x²+alnx（a是常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证若函数f（x）在区间[

1

2

，3]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：常规题型

分析：（Ⅰ）利用原函数求纵坐标，利用导函数求切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（Ⅱ）已知原函数在区间上单调，得到导函数在区间上的值恒为正或者恒为负，得到相应函数的最大值小于零，或者最小值大于零，从而求出参数的取值范围，即得到本题的解．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-2x²+lnx，f'（x）=1-4x+

1

x

，
当x=1时，f（1）=-1，f'（1）=-2．
∴当x=1时，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y+1=-2（x-1）．
即切线方程为：2x+y-1=0．
（Ⅱ）∵f（x）=x-2x²+alnx，
∴f'（x）=1-4x+

a

x

=

-4x2+x-a

x

（x＞0）．
∵函数f（x）在区间[

1

2

，3]上为单调函数，
∴f'（x）在区间[

1

2

，3]上的值恒为正，或者值恒为负．
记g（x）=-4x²+x-a，
则g（x）在区间[

1

2

，3]上的值恒为正，或者值恒为负．
∵g（x）=-4x²+x-a的图象开口向下，对称轴为：x=

1

8

，
∴g(

1

2

)≤0或者g(3)≥0，
故有：a≤

1

2

  或  a≥33．

点评：本题考查的是导数知识，包括利用导数求切线方程，利用导数研究原函数的单调区间，还涉及到恒成立的问题，考查了学生分析问题解决问题的能力．本题有一定的思维量和计算量，属于中档题．