Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，A为上端点，P为椭圆上任一点（与左、右顶点不重合）．
（1）若AF₁⊥AF₂，求椭圆的离心率；
（2）若P（-4，3）且

PF1

•

PF2

=0，求椭圆方程；
（3）若存在一点P使∠F₁PF₂为钝角，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由AF₁⊥AF₂，据对称性，△F₁AF₂为等腰直角三角形，即AO=OF₂，从而得到b=c，结合a²=b²+c²
可求椭圆的离心率；
（2）由点的坐标求得

PF1

，

PF2

的坐标，代入

PF1

•

PF2

=0求得c的值，再由P（-4，3）在椭圆上联立方程组求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（3）由∠F₁PF₂为钝角，得到

PF1

•

PF2

＜0有解，转化为c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：（1）如图，若AF₁⊥AF₂，据对称性，△F₁AF₂为等腰直角三角形，即AO=OF₂，即b=c，
故e=

c

a

=

c

b2+c2

=

2

2

；
（2）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
则有

PF1

=(-c+4，-3)，

PF2

=(c+4，-3)，
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴（4-c）（4+c）+9=0，即c²=25，
又

16 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=40 b2=15

，
即椭圆方程为

x2

40

+

y2

15

=1；
（3）设P（x₀，y₀），则|x₀|＜a，即0≤x02＜a2，
又∠F₁PF₂∈（0，π）．
若∠F₁PF₂为钝角，当且仅当

PF1

•

PF2

＜0有解，
即c2＞x02+y02有解，即c2＞(x02+y02)min．
又

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∴y02=b2-

b2

a2

x02，
∴x02+y02=b2+

c2

a2

x02∈[b2，a2)，
即(x02+y02)min=b2．
故c²＞b²，c²＞a²-c²，
∴

c2

a2

＞

1

2

，即e＞

2

2

，
又0＜e＜1，
∴

2

2

e＜1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积在解题中的应用，体现了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把存在一点P使∠F₁PF₂为钝角转化为

PF1

•

PF2

＜0有解，是压轴题．