题目内容
19．已知a＞0，a≠1，命题p：函数y=logax在（0，+∞）内单调递减，q：曲线y=x2+（2a-3）x+1与x轴交于不同两点．（Ⅰ）若命题p，q均是真命题，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
分析 （Ⅰ）根据函数的性质分别求出命题的等价条件即可．
（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，则p，q有且只有一个为真命题，进行求解即可．
解答 解：（Ⅰ）∵函数y=logax在（0，+∞）内单调递减，
∴命题p为真时?0＜a＜1…（2分）
当命题q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足
△=（2a-3）2-4＞0⇒$0＜a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{5}{2}$…（4分）
（Ⅱ）由“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，知p，q有且只有一个为真命题．…（6分）
①当p真q假$?\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$⇒$a∈[\frac{1}{2}，1）$…（9分）
②当p假q真$?\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{0＜a＜\frac{1}{2}或a＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，⇒$a∈（\frac{5}{2}，+∞）$…（12分）
综上所述，a取值范围是$[\frac{1}{2}，1）∪（\frac{5}{2}，+∞）$…（14分）
点评 本题以函数的单调性和二次函数零点的问题为载体，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{2016}{2017}$ | B． | $\frac{2015}{2016}$ | C． | $\frac{2014}{2015}$ | D． | 1 |
11．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
| A． | $f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x-1}，g（t）=t+1$ | B． | $f（x）=lg\sqrt{x}+lg\sqrt{1-x}，g（x）=lg\sqrt{x（1-x）}$ | ||
| C． | $f（x）=\root{3}{x^3}，g（x）=x+1$ | D． | $f（x）={（\sqrt{x}）^2}，g（x）=x$ |