Question

2．已知函数$f（x）=\frac{1}{{{2^x}-1}}+a$为奇函数，则实数a=$\frac{1}{2}$，函数f（x）在[1，3]上的值域为[$\frac{9}{14}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义，利用条件f（-x）=-f（x），建立方程关系进行求解即可，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-a，
即$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-a，
则2a=+a=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1}{1-{2}^{x}}$-$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=1，
则a=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$在[1，3]为减函数，
则f（3）≤f（x）≤f（1），
即$\frac{9}{14}$≤f（x）≤$\frac{3}{2}$，
即函数的值域为[$\frac{9}{14}$，$\frac{3}{2}$]，
故答案为：$\frac{1}{2}$，[$\frac{9}{14}$，$\frac{3}{2}$]

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数值域的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．