Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E-BD-C为60°，求k的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件得ABFD是矩形，BF=CD，由三垂线定理，得PD⊥CD，由此能证明CD⊥平面BEF．
（Ⅱ）连结AC，交BF于H，则H是AC中点，连结EH，作HM⊥BD于M，连结EM，由已知条件得∠EMH为二面角E-BD-F的平面角，由此能求出k．

解答： （Ⅰ）证明：∵DF∥AB，DF=AB，∠DAB=90°，
∴ABFD是矩形，∴BF=CD，
∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，
∴由三垂线定理，得PD⊥CD，
∵E是PC中点，F是CD中点，∴EF∥PD，
∴EF⊥CD，∴CD⊥平面BEF．
（Ⅱ）解：连结AC，交BF于H，则H是AC中点，连结EH，
由E是PC中点，得EH∥PA，PA⊥平面ABCD，
得EH⊥平面ABCD，且EH=

1

2

PA=

k

2

，
作HM⊥BD于M，连结EM，由三垂直线定理得EM⊥BD，
∴∠EMH为二面角E-BD-F的平面角，∴∠EMH=60°，
∵Rt△HBM∽Rt△DBF，
∴

HM

DF

=

HB

BD

，∴

HM

1

=

1

5

，解得HM=

1

5

，
在Rt△EHM中，

EH

HM

=tan60°，
∴

5 k

2

=

3

，解得k=

2 15

5

．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．