Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-n²+3n-2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+2n}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

Sn+n2

an+2n

，求数列{b_n}的前n项和B_n；
（Ⅲ）若c_n=

1

an-2

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得a_n=2a_n-2a_n-1-2n+4，从而a_n+2n+2[a_n-1+2（n-1）]，又当n=1时，a₁=0，由此能证明{a_n+2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出an=2n-2n．
（Ⅱ）由bn=2-

n+2

2n

，利用分组求和法和错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和B_n．
（Ⅲ）当n=1时，T1=

1

2

＜

3

4

，当n≥2时，2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]＞…＞2ⁿ（2²-4）=0，由此能证明Tn＜

3

4

．

解答： （Ⅰ）证明：∵Sn=2an-n2+3n-2，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-(n-1)2+3(n-1)-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1-2n+4，
∴a_n+2n+2[a_n-1+2（n-1）]，
又当n=1时，a₁=0，
∴{a_n+2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-2n．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得Sn=2n+1-n2-n-2，
bn=2-

n+2

2n

，
∴Bn=2n-(

3

2

+

4

22

+…+

n+2

2n

)，
设Dn=

3

2

+

4

22

+…+

n+2

2n

，①
则2Dn=3+

4

2

+…+

n+1

2n-2

+

n+2

2n-1

，②
②-①，得Dn=3+

1

2

+…+

1

2n-1

-

n+2

2n

=4-

1

2n-1

-

n+2

2n

=4-

n+4

2n

，
∴Bn=2n-4+

n+4

2n

．
（Ⅲ）证明：当n=1时，T1=

1

2

＜

3

4

，
当n≥2时，∵2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]，
∴2ⁿ⁺²-2（n+2）＞2[2ⁿ⁺¹-2（n+1）]＞…＞2ⁿ（2²-4）=0，
∴cn=

1

2n+2-2(n+2)

＜

1

2[2n+1-2(n+1)]

=

1

2

cn-1，
又c2=

1

8

，∴当n≥2时，cn≤(

1

2

)n-2c2=(

1

2

)n+1，
∴当n≥2时，Tn=

1

2

+

1

8

+…+

1

2n+2-2(n+2)

≤

1

2

+

1

8

+…+

1

2n+1

=

1

2

+

1

4

-(

1

2

)n+1＜

3

4

，
∴Tn＜

3

4

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．