Question

12．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1$\frac{1}{2}$．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=log₂a_n+2，求数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）分n=1与n≥2讨论，从而化简可得a_n=2a_n-1，从而证明；
（2）由（1）知，a_n=$\frac{3}{2}$•2^n-1，从而化简b_n=log₂a_n+2=$lo{{g}_{2}}^{3}$+n，从而利用裂项求和法求其前n项和．

解答 解：（1）证明：当n=1时，a₁=2a₁-1$\frac{1}{2}$，
故a₁=1$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，S_n=2a_n-1$\frac{1}{2}$，S_n-1=2a_n-1-1$\frac{1}{2}$；
a_n=2a_n-2a_n-1，
故a_n=2a_n-1，
故数列{a_n}是以1$\frac{1}{2}$为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，a_n=$\frac{3}{2}$•2^n-1，
a_n+2=$\frac{3}{2}$•2ⁿ⁺¹=3•2ⁿ，
故b_n=log₂a_n+2=$lo{{g}_{2}}^{3}$+n，
故$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（lo{g}_{2}3+n）（lo{g}_{2}3+n+1）}$
=$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n+1}$，
故T_n=（$\frac{1}{lo{g}_{2}3+1}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+2}$）+（$\frac{1}{lo{g}_{2}3+2}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+3}$）+…+（$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n+1}$）
=$\frac{1}{lo{g}_{2}3+1}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}3+n+1}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及裂项求和法的应用，属于中档题．