Question

18．已知点B为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左准线与x轴的交点，点A坐标为（0，b），若满足$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{AB}$点P在双曲线上，则双曲线的离心率为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 求得B的坐标，设P（x₀，y₀），运用向量的坐标运算，求得x₀，y₀，代入双曲线的方程化简，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得B（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），
由$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{AB}$，
设P（x₀，y₀），
可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-0=3（-\frac{{a}^{2}}{c}-0）}\\{{y}_{0}-b=3（0-b）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{3{a}^{2}}{c}}\\{{y}_{0}=-2b}\end{array}\right.$，
代入双曲线的方程可得$\frac{\frac{9{a}^{4}}{{c}^{2}}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{b}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即$\frac{9{a}^{2}}{{c}^{2}}$=5，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求解，同时考查向量的坐标运算，由已知得出关于a，c的等量关系是解决问题的关键，属中档题．