Question

8．已知椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为4．椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；  
（2）求弦长|AB|

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为4，列出方程组，能求出椭圆方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，得5x²+16x=0，由此能求出弦长|AB|．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=4}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，得5x²+16x=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{16}{5}}\\{{y}_{2}=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴A（0，2），B（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
∴|AB|=$\sqrt{（-\frac{6}{5}-2）^{2}+（-\frac{16}{5}-0）^{2}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．