Question

13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t的几何意义能求出|MA|+|MB|的值．

解答 解：（1）圆C的方程为ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0．
即x²+（y-2）²=4．
（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，整理，得t²-3$\sqrt{2}$t+1=0，
△=18-4=14＞0，设t₁，t₂为方程的两个实根，
则t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=1，∴t₁，t₂均为正数，
又直线l过M（1，4），
由t的几何意义得：
|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，同时考查直线与圆的位置关系，考查直线参数方程的运用，是基础题．