Question

9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x-2）²+y²=3相切，则双曲线的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由题意求出双曲线的渐近线方程，并化为一般式方程，由直线与圆相切的条件和点到直线的距离公式列出方程，由焦点坐标和a、b、c的关系列出方程，联立后求出a、b的值，可得答案．

解答 解：由题意知，双曲线的渐近线方程为$y=±\frac{b}{a}x$，即bx±ay=0，
因它与圆（x-2）²+y²=3相切，则$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\sqrt{3}$，①
又 一个焦点为F（2，0），则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，②
联立①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以双曲线方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故答案为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，直线与圆相切的条件，以及点到直线的距离公式，考查方程思想，化简、计算能力．