题目内容
已知函数f（x）=sin2x+acosx-2a，对任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，则实数a的取值范围为 ．
考点：三角函数的最值
专题：三角函数的求值
分析：函数f（x）=-cosx2+acosx+1-2a，令t=cosx∈[-1，1]，则有f（x）=-t2+at+1-2a＜-2恒成立，即 t2-at+2a-3＞0 恒成立．令g（t）=t2-at+2a-3，它的对称轴为t=
．再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围．
| a |
| 2 |
解答：
解：∵函数f（x）=sin2x+acosx-2a=-cosx2+acosx+1-2a，对任意x∈R，都有f（x）＜-2恒成立，
令t=cosx∈[-1，1]，则有f（x）=-t2+at+1-2a＜-2恒成立，即 t2-at+2a-3＞0 恒成立．
令g（t）=t2-at+2a-3，它的对称轴为t=
．
故有
①，或
②，或
③．
解①求得a∈∅，解②求得a∈∅，解③求得a＞2．
综上可得，a的范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．
令t=cosx∈[-1，1]，则有f（x）=-t2+at+1-2a＜-2恒成立，即 t2-at+2a-3＞0 恒成立．
令g（t）=t2-at+2a-3，它的对称轴为t=
| a |
| 2 |
故有
|
|
|
解①求得a∈∅，解②求得a∈∅，解③求得a＞2．
综上可得，a的范围是（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
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