Question

已知l₁为函数f（x）=x²（x∈[0，2]）在P（t，t²）（t∈（0，2））处的切线，l₂为x=2，f（x），l₁，l₂与x轴所围成的图形如图所示．
（1）请用t表示S₁+S₂=g（t）；
（2）求g（t）的最小值．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求根据导数求出切线方程，再根据微积分基本定理，问题得以解决．
（2）先求导，根据导数来求函数的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²，
∴f′（x）=2x，
∴l₁为y-t²=2t（x-t），
即y=2tx-t²，它与x轴交于(

t

2

，0)，与l₂交于（2，4t-t²），
则g（t）=

∫

2 0

x2-

1

2

(2-

t

2

)(4t-t2)
=-

t3

4

+2t2-4t+

8

3

，（t∈（0，2））；
（2）g′(′t)=-

3t2

4

+4t-4=-

3

4

(t-4)(t-

4

3

)，
由g′（t）＞0（0＜t＜2）得t∈(

4

3

，2)，
∴g（x）在(

4

3

，2)上增，
由g′（t）＜0，（0＜t＜2）得t∈(0，

4

3

)，
∴g（x）在(0，

4

3

)上减，
∴gmin(x)=g(

4

3

)=

8

27

．

点评：本题主要考查了微积分基本定理和定积分的几何意义．以及利用导数求函数的最值问题．