Question

5．已知函数f（x）是R上的偶函数，若对于x≥0，均有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2），f（x）=log₂（x+1），则f（-2015）+f（2016）等于（　　）

• A． 1+log₂3
• B． -1+log₂3
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 首先根据f（x）是R上的偶函数，可得f（-x）=f（x），知f（-2015）+f（2016），求出函数的周期T=4，利用当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1）的解析式，进行求解．

解答 解：∵函数f（x）是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
又∵对于x≥0都有f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴T=4，
∵当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（-2015）+f（2016）=f（2015）+f（2016）=f（4×503+3）+f（4×504）
=-f（1）+f（0）=-log₂2+log₂1=-1，
故选：D．

点评 此题主要考查偶函数的性质及其周期性，还考查了周期函数的解析式，是一道基础题，计算的时候要仔细．