Question

【题目】如图，在三棱锥中，，为的中点.

（1）求证：面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质得到，由勾股定理逆定理得，由线面垂直的判定定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，分别求出面与面的法向量，利用向量的夹角公式计算法向量夹角，从而可得二面角的平面角的正弦值.

解：（1）连接，设，则，

，为的中点

，

，为的中点

，，

∴，

∴，

又∵，平面，平面，

∴平面.

（2）由（1）知，，，，即，，两两垂直，

如图，以为原点，以，，所在射线为，，轴正半轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，.

设平面的法向量为，

则，即，

，

取，则，，

，

，，，平面，平面，

面，

可取向量为平面的法向量，

，

二面角的平面角的正弦值为.