题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,求
的零点个数;
(2)证明:,
.
【答案】(1)零点个数为0(2)证明见解析
【解析】
(1),讨论
和
两种情况,计算函数的单调性得到
恒成立,故函数没有零点.
(2)只需要证明即可,讨论
,
两种情况,求导得到函数单调性,根据单调性计算函数最值,得到证明.
(1)因为,
,
①当时,
,
,
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;所以当
时,
取得最小值,
所以.
②当时,
,
,
,
单调递增;所以
.
综上,,因此,
没有零点,即
的零点个数为0.
(2)要证,
,
只要证,
即可.
因为当时,
.
①当时,
因为当,
,
,
单调递增,
当,
,
,
单调递增,
又,所以
在
上单调递增,
所以,
,
所以.
②当时,
,
,
在
单调递增,
所以,
,
所以.
又因为,所以
.
因此,时,
.
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