题目内容
【题目】已知椭圆:的左顶点为,右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于,两点,且,其中为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点且与直线平行的直线与椭圆交于,两点,若点满足,且与椭圆的另一个交点为,求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由题意知是以为斜边的等腰直角三角形,从而求得B点坐标,代入椭圆方程求出 ,即可得解;(2)设点,,,直线的方程与椭圆方程联立求出,,,利用计算出点Q的坐标, 因为点在椭圆上,所以,整理得,因为, ,,方程解得,即.
解:(1)因为直线的斜率为1,且,
所以是以为斜边的等腰直角三角形,
从而有,
代人椭圆的方程,得,解得,
所以椭圆的标准方程为.
(2)由(1)得,所以直线的方程为.
设点,,,
将代入,得,
所以,,
所以.
因为,所以,所以.
设,则,,
所以
因为点在椭圆上,所以,
所以,
整理得,.
由上得,且可知,,
所以,整理得,
解得或(舍去),即.
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