题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若是的唯一极值点,求的取值范围.
【答案】(1)增区间是,减区间是(2)
【解析】
(1)利用导数,求函数的单调区间;
(2)首先求函数的导数,令,转化为函数没有变号零点,求的取值范围.
解:(1)由题意可得
当时,,
因为,所以
所以时,,时,.
所以的增区间是,减区间是.
(2),令
则,当,,当,,
所以在递减,在递增,
所以
①当,即时,恒成立,
故时,;时,
故在递增,在递减,所以是的唯一极值点,满足题意.
②当.即时,在递减,在递增,.
故时,,得;时,,得
故在递增,在递减
所以是的唯一极值点,满足题意.
③当,时,,
,令,则,,
令,,
令,,,故在递增,故
故在递增,,故
所以在存在唯一零点,设为,
当时,,得;当时,,得,
所以在递减,递增,所以也是的极值点,
所以不符合题意
综上所述,的取值范围是
(注:①②可合并)