题目内容

【题目】已知函数.

1)若,求的单调区间;

2)若的唯一极值点,求的取值范围.

【答案】1)增区间是,减区间是2

【解析】

1)利用导数,求函数的单调区间;

(2)首先求函数的导数,令,转化为函数没有变号零点,求的取值范围.

解:(1)由题意可得

时,

因为,所以

所以时,时,.

所以的增区间是,减区间是.

2,令

,当,当

所以递减,在递增,

所以

①当,即时,恒成立,

时,时,

递增,在递减,所以的唯一极值点,满足题意.

②当.时,递减,在递增,.

时,,得时,,得

递增,在递减

所以的唯一极值点,满足题意.

③当时,

,令,则

,故递增,故

递增,,故

所以存在唯一零点,设为

时,,得;当时,,得

所以递减,递增,所以也是的极值点,

所以不符合题意

综上所述,的取值范围是

(注:①②可合并)

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