Question

6．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$（ω＞0），且f（a）=-$\frac{1}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$，若|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，则函数的单调递增区间为（　　）

• A． [-$\frac{π}{2}$+2kπ，π+2kπ]，k∈Z
• B． [-$\frac{π}{2}$+3kπ，π+3kπ]，k∈Z
• C． [π+2kπ，$\frac{5π}{2}$+2kπ]，k∈Z
• D． [π+3kπ，$\frac{5π}{2}$+3kπ]，k∈Z

Answer 1

分析 根据f（a）=-$\frac{1}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$求出α、β的值，再根据|α-β|的最小值求出ω的值，
写出f（x）的解析式，从而求出f（x）的单调增区间．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$（ω＞0），且f（a）=-$\frac{1}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$，
∴f（α）=sin（ωα-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，可得ωα-$\frac{π}{6}$=2k₁π-$\frac{π}{2}$，k₁∈Z，
解得：α=$\frac{{2k}_{1}π-\frac{π}{3}}{ω}$，k₁∈Z；
f（β）=sin（ωβ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，可得ωβ-$\frac{π}{6}$=k₂π，k₂∈Z，
解得：β=$\frac{{k}_{2}π+\frac{π}{6}}{ω}$，k₂∈Z；
∵|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，
∴|α-β|=|$\frac{{2k}_{1}π{-k}_{2}π-\frac{π}{2}}{ω}$|=$\frac{π}{ω}$|2k₁-k₂-$\frac{1}{2}$|≥$\frac{3π}{4}$，k₁∈Z，k₂∈Z，
可解得：ω≤$\frac{4}{3}$|2k₁-k₂-$\frac{1}{2}$|，k₁∈Z，k₂∈Z，
取k₁=1．k₂=2，可得ω=$\frac{2}{3}$；
∴f（x）=sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得3kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤3kπ+π，k∈Z；
∴函数f（x）的单调递增区间为：[3kπ-$\frac{π}{2}$，3kπ+π]，k∈Z．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了分析问题解答问题的能力，是综合性题目．