Question

17．已知曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）关于直线x+my+4=0对称，且满足x₁x₂+y₁y₂=0．
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）由点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称．得圆心（-1，3）在直线上，代入得m
（2）设直线PQ方程为：y=-x+b，代入圆方程并整理得：2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0
由△＞0得：$2-3\sqrt{2}＜b＜2+3\sqrt{2}$，及x₁+x₂=b-4，${x_1}{x_2}=\frac{{{b^2}-6b+1}}{2}$，
由x₁x₂+y₁y₂=0． 解得b=1即可．

解答 解：（1）曲线方程为（x+1）²+（y-3）²=9，表示圆心为（-1，3），半径为3的圆．
∵点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称．∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1…（5分）
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，∴设直线PQ方程为：y=-x+b，
代入圆方程并整理得：2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0
由△＞0得：$2-3\sqrt{2}＜b＜2+3\sqrt{2}$，
而P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴x₁+x₂=b-4，${x_1}{x_2}=\frac{{{b^2}-6b+1}}{2}$，
∵x₁x₂+y₁y₂=0．∴$2{x_1}{x_2}-b（{x_1}+{x_2}）+{b^2}=0$
∴b²-6b+1-b²+4b+b²=0∴b=1，
∴直线PQ的方程为：y=-x+1．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．