Question

3．在极坐标系中，点M（1，$\frac{π}{2}$），曲线C的方程为ρsin²θ=cosθ．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．
（Ⅰ）求点M的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）斜率为-1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （I）点M（1，$\frac{π}{2}$），利用互化公式可得：点M的直角坐标，曲线C的方程为ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ．
利用互化公式可得：曲线C的直角坐标方程．
（ II）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．把直线l的参数方程代入曲线C的方程得：t²+3$\sqrt{2}$t+2=0，设A、B对应的参数分别为t₁，t₂，利用一元二次方程的根与系数的关系可得：|MA|•|MB|=|t₁•t₂|．

解答 （I）解：点M（1，$\frac{π}{2}$），利用互化公式可得：点M的直角坐标为（0，1），
曲线C的方程为ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ．
利用互化公式可得：曲线C的直角坐标方程为y²=x．
（ II）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
把直线l的参数方程代入曲线C的方程得：t²+3$\sqrt{2}$t+2=0，△=$（3\sqrt{2}）^{2}-4×2$=10＞0，
设A、B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=2，
由t的几何意义得：|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=2，

点评 本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程的应用、直线与曲线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．