Question

9．如图，在△AOC中，∠O=90°，∠C=30°，B是边OA上一点，D是边OC上一动点，且当CD=100（$\sqrt{3}$-1）时，∠ADO=45°
（1）求OA的长；
（2）当AB=52，tan∠ADB=$\frac{13\sqrt{3}}{60}$时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）△AOD中，利用正弦定理，求出AD，在△AOC中求OA的长；
（2）当AB=52，tan∠ADB=$\frac{13\sqrt{3}}{60}$时，利用差角的正切公式，即可求CD的长．

解答 解：（1）△AOD中，$\frac{AD}{sin30°}=\frac{100（\sqrt{3}-1）}{sin15°}$，∴AD=100$\sqrt{2}$，
∵△AOC中，∠O=90°，∠ADO=45°
∴OA=100；
（2）设OD=x，AC=200，OC=100$\sqrt{3}$，
tan∠BDO=$\frac{48}{x}$，tan∠ADO=$\frac{100}{x}$，
∴tan∠ADB=tan（∠ADO-∠BDO）=$\frac{\frac{100}{x}-\frac{48}{x}}{1+\frac{4800}{{x}^{2}}}$=$\frac{13\sqrt{3}}{60}$，
∴x=40$\sqrt{3}$，
∴CD=OC-OD=60$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查差角的正切公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．