Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，点P（2，

3

）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点Q（2，0）的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆的离心率得到a，b的关系，再把P点坐标代入椭圆方程得到a，b的关系，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程；
（2）当过点Q（2，0）的动直线斜率不存在时，直接解得M，N的坐标，求出直线AN，BM的斜率，由点斜式写出直线方程，求得交点G的横坐标为8．当斜率存在时，设出直线方程及M，N，G的坐标，把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到M，N的横坐标的和与积，再由A、N、G共线与B、M、G共线把G点的纵坐标用M，N的坐标表示，由坐标相等得到G点的横坐标与M，N坐标的关系式，取G点横坐标为8，同时代入M，N横坐标的和与积验证等式成立，说明直线斜率存在时得到的G点的横坐标也是8．

解答： 解：（1）由e=

c

a

=

3

2

，得

c2

a2

=

3

4

，即

a2-b2

a2

=

3

4

，
整理得：a²=4b²  ①
又点P(2，

3

)在椭圆上，
∴

4

4b2

+

3

b 2

=1  ②
联立①②解得b²=4，a²=16，
则椭圆C方程是

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由（1）知，A（-4，0），B（4，0），
当过点Q（2，0）直线MN垂直于x轴时，交点为M(2，

3

)，N(2，-

3

)，
kAN=

- 3 -0

2+4

=-

3

6

，kBM=

3 -0

2-4

=-

3

2

，
由点斜式可得直线AN：y=-

3

6

(x+4)，直线MB：y=-

3

2

(x-4)，
联立

y=- 3 6 (x+4) y=- 3 2 (x-4)

，解得

x=8 y=-2 3

．
∴交点G(8，-2

3

)；
当直线MN不垂直x轴时，
设直线MN：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（t，y_G），
联立

y=k(x-2) x2 16 + y2 4 =1

，得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-16=0．
x1+x2=

16k2

1+4k2

，x1x2=

16k2-16

1+4k2

   ③
∵

.

AG

=(t+4，yG)，

AN

=(x2+4，y2)，且A、N、G三点共线，
∴yG=

(t+4)y2

x2+4

，
∵

.

BG

=(t-4，yG)，

BM

=(x1-4，y1)，且B、M、G三点共线，
∴yG=

(t-4)y1

x1-4

，
∴

(t+4)y2

x2+4

=

(t-4)y1

x1-4

，即

(t+4)k(x2-2)

x2+4

=

(t-4)k(x1-2)

x1-4

，
整理得

t+4

t-4

=

(x2+4)(x1-2)

(x2-2)(x1-4)

，
取t=8得2x₁x₂-10（x₁+x₂）+32=0  ④
把③代入④得：2×

16k2-16

1+4k2

-10×

16k2

1+4k2

+32
=

32k2-32-160k2+32+128k2

1+4k2

=0成立．
∴G的横坐标的值为8．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．