Question

在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，

m

=（2a，b）与

n

=（

3

，sinB）共线，
（1）求角A．
（2）将函数y₁=sinx的图象向左平移

π

6

个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象，若f（A）=

1

2

，b=1，且△ABC的面积s=

3

2

，判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量共线（平行）的坐标表示,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）通过向量平行，列出方程，利用正弦定理求出角A．
（2）将函数y₁=sinx的图象通过变换得到函数的解析式，利用f（A）=

1

2

，b=1，且△ABC的面积s=

3

2

，以及余弦定理求出三角形的四个边长，即可判断△ABC的形状．

解答： 解：（1）

m

=（2a，b）与

n

=（

3

，sinB）共线，得

3

b=2asinB，（2分）
由正弦定理有：

3

sinB=2sinAsinB．
∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴sinA=

3

2

．（4分）
又A∈（0，π），得：A=

π

3

或A=

2π

3

．（6分）
（2）由已知将函数y₁=sinx的图象向左平移

π

6

个单位长度，得到y=sin（x+

π

6

），
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），
得到函数y=f（x）=sin（2x+

π

6

），（8分）
由f（A）=

1

2

，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，得A=

π

3

．
又S=

1

2

bcsinA=

3

2

，b=1，得c=2．（10分）
由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

，得a=

3

．
显见a²+b²=c²，
∴△ABC是以角C为直角的Rt△ABC．（12分）

点评：本题以向量为载体，考查向量的共线，同时考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角函数的图象的变换，基本知识的考查．