Question

达州市万源中学实施“阳光体育”素质教育，要求学生在校期间每天上午第二节课下课后迅速到操场参加课间活动．现调查高三某班学生从教室到操场路上所需时间（单位：分钟）并将所得数据绘制成频率直方图（如图），其中，路上所需时间的范围是（0，10]，样本数据分组为（0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]．
（Ⅰ）求直方图t的值；
（Ⅱ）现有6名学生路上时间小于4分钟，其中2人路上时间小于2分钟．从这6人中任意选出2人，设这2人路上时间小于2分钟人数记为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1，能求出直方图中x的值．
（Ⅱ）由题设知X的可能取值为0，1，2，分别求出其概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： （Ⅰ）由题意知（2×0.03+0.065+0.125+t）×2=1
解之得t=0.25．                …（5分）
（Ⅱ）由题意知X的取值可能为0，1，2                     …（6分）
P（X=i）=

C i 2 C 2-i 4

C 2 6

（i=0，1，2），…（9分）
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（11分）
所以E（X）=

8

15

+

2

15

=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．