题目内容
在数列{an}中，a1=255，
-
=
（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设bk=ka2k（k∈N*），记数列{bk}的前k项和为Bk，求Bk的最大值．
| 1 |
| 1+an+1 |
| 1 |
| 1+an |
| 1 |
| 256 |
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设bk=ka2k（k∈N*），记数列{bk}的前k项和为Bk，求Bk的最大值．
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）设cn=an+1，将递推公式转化为与cn相关的式子，进而求出数列的通向公式．
（Ⅱ）求出数列{bn}的通项，利用等比数列求和公式即可求解．
（Ⅱ）求出数列{bn}的通项，利用等比数列求和公式即可求解．
解答：
解：（Ⅰ）设cn=an+1，则数列{
}是一个等差数列，
又
=
，d=
．
∴
=
+
(n-1)
=
∴cn=
∴an=cn-1=
-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=n•a2n=
-n
∵当n≤256时，an≥0，由2k≤256，得k≤8
∴数列{bk}的前8项和B8最大．
又B8=256×(
+
+
+…+
)-(1+2+3+…+8)
令T8=
+
+
+…+
由错位相减法可求得
T8=2-5×(
)7
∴B8=256×[2-5(
)7]-36=466．
∴Bk的最大值为466．
| 1 |
| cn |
又
| 1 |
| c1 |
| 1 |
| 256 |
| 1 |
| 256 |
∴
| 1 |
| cn |
| 1 |
| 256 |
| 1 |
| 256 |
=
| n |
| 256 |
∴cn=
| 256 |
| n |
∴an=cn-1=
| 256 |
| n |
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=n•a2n=
| 256n |
| 2n |
∵当n≤256时，an≥0，由2k≤256，得k≤8
∴数列{bk}的前8项和B8最大．
又B8=256×(
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 8 |
| 28 |
令T8=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 8 |
| 28 |
由错位相减法可求得
T8=2-5×(
| 1 |
| 2 |
∴B8=256×[2-5(
| 1 |
| 2 |
∴Bk的最大值为466．
点评：本题主要考察了利用递推公式求数列通项，以及等比数列的求和，属于中档题．
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