Question

10．已知圆C的圆心为（1，2）且与直线2x+y+1=0相切．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l经过点（-1，-1）且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意以及点到直线的距离公式求得圆的半径，从而求得圆C的标准方程；
（Ⅱ）由 点（-1，-1）在圆内，且弦长为2＜$2\sqrt{5}$，判断应有两条直线，然后分类讨论当l斜率存在时和当l斜率不存在时，求出直线l的方程即可．

解答 解：（Ⅰ） 圆的半径为圆心（1，2）到切线2x+y+1=0的距离，
即r=$\frac{|2+2+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y-2）²=5；
（Ⅱ） 点（-1，-1）在圆内，且弦长为2＜$2\sqrt{5}$，∴应有两条直线．
①当l斜率存在时，设l：y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0．
由弦长公式，$2=2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{5-{d}^{2}}$，得d=2．
∴圆心到直线l的距离$d=\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得$k=\frac{5}{12}$，此时l：5x-12y-7=0．
②当l斜率不存在时，l：x=-1，也符合题意．
∴直线方程为：5x-12y-7=0或x=-1．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用以及弦长公式，属于中档题．