Question

15．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，若△ABC外接圆半径R=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）求出函数的解析式，并利用辅助角（和差角）公式化为正弦型函数，结合正弦函数的单调性，可得f（x）的单调递增区间．
（2）由已知中f（A）=2，b=1，△ABC外接圆半径R=1，判断出△ABC为直角三角形，进而可得△ABC的面积．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）．
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，．
---------（2分）
所以，函数f（x）的最小正周期为T=π，-------（3分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，函数f（x）单调递增，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．----------（6分）
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，解得A=$\frac{π}{3}$，------（8分）
又∵△ABC外接圆半径R=1，
∴a=2RsinA=$\sqrt{3}$．
再由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，解得sinB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{6}$
∴C=$\frac{π}{2}$，
即△ABC为直角三角形．--------（11分）
∴S=$\frac{1}{2}ab$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．------------（12分）

点评 本题考查的知识点是三角函数的恒等变量，三角函数的图象和性质，平面向量的数量积运算，难度中档．