Question

20．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1．
（1）求数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式即可求出数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通项公式，
（2）利用错位相减法即可求出前n项和．

解答 解：（1）由a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1．
当n=1时，a₁=2$\sqrt{{S}_{1}}$-1=2$\sqrt{{a}_{1}}$-1，解得S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1，得（$\sqrt{{S}_{n}}$-1）²=S_n-1，
∵a_n＞0，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{S}_{n-1}}$+1，
∴{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=n，
（2）∵a_n=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1=2n-1，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{{2}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=3•（$\frac{1}{2}$）¹+5•（$\frac{1}{2}$）²+…
+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴2T_n=3+5•（$\frac{1}{2}$）¹+…+（2n-1）（$\frac{1}{2}$）^n-2+（2n+1）（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=3+2[（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2]-（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=3+$\frac{1×（1-（\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题