Question

18．如图所示，CD，GF为圆O的两条切线，其中E，F分别为圆O的两个切点，∠FCD=∠DFG．
（1）求证：AB∥CD；
（2）证明：$\frac{ED}{EC}$=$\frac{BD}{AC}$．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理，结合条件，即可证明：AB∥CD；
（2）连接AE，FE，利用弦切角定理、正弦定理证明：$\frac{ED}{EC}$=$\frac{BD}{AC}$．

解答 （1）证明：由题意，∠FAB=∠DFG，
∵∠FCD=∠DFC，
∴∠FCD=∠FAB，
∴AB∥CD；
（2）解：连接AE，FE，
∵CD切圆O于点E，
∴∠CEA=∠AFE，
∵AB∥CD，
∴∠CEA=∠EAB，
∵∠EFD=∠EAB，
∴∠EFD=∠AFE．
△EFD中，由正弦定理可得$\frac{ED}{sin∠EFD}$=$\frac{FD}{sin∠FED}$．
△EFC中，由正弦定理可得$\frac{EC}{sin∠AFE}$=$\frac{FC}{sin∠FEC}$，
∵∠FEC=π-∠FED，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{FD}{FC}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{FD}{FC}$，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{BD}{AC}$．

点评 本题考查弦切角定理、正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用弦切角定理、正弦定理是关键．