Question

9．如图，平面α∥平面β，过点P的两条斜线分别交平面α、β于A、C及B、D．点P在平面α内的射影0点在线段AB上，且PA=8，AB=5，PB=7，CD=20．求：
（1）斜线PC与平面β所成角的大小：
（2）平面α与平面β间的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出∠PCD就是斜线PC与平面β所成角的大小，且∠PCD=∠PAB，利用余弦定理能求出斜线PC与平面β所成角的大小．
（2）点P在平面β内的射影H点在线段CD上，先求出PO=PA•sin60°=4$\sqrt{3}$，再推导出△POA∽△PHC，由此能求出平面α与平面β间的距离．

解答 解：（1）∵平面α∥平面β，过点P的两条斜线分别交平面α、β于A、C及B、D，
点P在平面α内的射影O点在线段AB上，
∴∠PCD就是斜线PC与平面β所成角的大小，且∠PCD=∠PAB，
∵PA=8，AB=5，PB=7，
∴cos∠PCD=cos∠PAB=$\frac{P{A}^{2}+A{B}^{2}-P{B}^{2}}{2PA•AB}$=$\frac{64+25-49}{2×8×5}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PCD=60°，
∴斜线PC与平面β所成角的大小为60°．
（2）点P在平面β内的射影H点在线段CD上，
PA=8，AB=5，PB=7，CD=20，∠PCD=∠PAB=60°，
∴PO=PA•sin60°=4$\sqrt{3}$，
∵∠PCD=∠PAB=60°，∠PHC=∠POA=90°，
∴△POA∽△PHC，∴$\frac{PO}{PH}=\frac{AO}{CH}=\frac{AB}{CD}$，
∴PH=$\frac{PO•CD}{AB}$=$\frac{4\sqrt{3}×20}{5}$=16$\sqrt{3}$，
∴平面α与平面β间的距离OH=PH-PO=16$\sqrt{3}-4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面角的大小的求法，考查两平面间的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．