Question

6．已知曲线C的极坐标方程为3ρsinθ+2ρcosθ=2，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）求曲线C₁的普通方程；
（2）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的范围．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出cosα，sinα利用cos²α+sin²α=1消参数得到曲线C₁的普通方程；
（2）先求出曲线C的普通方程，使用参数坐标求出点M到曲线C的距离，得到关于α的三角函数，利用三角函数的性质求出M到曲线C的距离的范围．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
∴sinα=$\frac{y}{2}$，cosα=$\frac{x-1}{3}$，
∴曲线的普通方程是：C₁：$\frac{（x-1）^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，（4分）
（2）曲线C₁的普通方程是：2x+3y-2=0，（6分）
设点M（1+3cosα，2sinα），由点到直线的距离公式得     （7分）
d=$\frac{|2+6cosα+6sinα-2|}{\sqrt{13}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$|cos（α-$\frac{π}{4}$）|=$\frac{6\sqrt{26}}{13}$|cos（$α-\frac{π}{4}$）|，（9分）
∴0≤|cos（$α-\frac{π}{4}$）|≤1时，$0≤d≤\frac{{6\sqrt{26}}}{13}$．（10分）

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．