Question

13．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆锥曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$
（1）求圆锥曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
（2）若直线l交圆锥曲线C于M，N两点，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）运用代入消元法，可得直线l的普通方程；由3ρ²+ρ²sin²θ=12，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，即可得到所求直角坐标方程；
（2）将直线l的方程y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），代入曲线C：3x²+4y²=12，可得x的二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求距离．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去t，可得直线l的普通方程为x+$\sqrt{3}$y+1=0；
曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，即为3ρ²+ρ²sin²θ=12，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲线C的直角坐标方程为3x²+4y²=12；
（2）将直线l的方程y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），代入曲线C：3x²+4y²=12，
可得13x²+8x-32=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{8}{13}$，x₁x₂=-$\frac{32}{13}$，
即有|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{\frac{64}{169}+4×\frac{32}{13}}$=$\frac{48}{13}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线和曲线相交的弦长的求法，注意联立直线方程和曲线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．