题目内容

6．用定义证明函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+3在区间（0，+∞）上是减函数．

分析 首先，任设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2 ，然后，作差法比较大小，最后写出结论即可．

解答 证明：任设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，
∵f（x1）-f（x2）=（$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+3）-（$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}+3$）=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$，
∵x2＞x1＞0，
∴x2-x1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

点评 本题重点考查了函数单调性的定义，作差法比较大小等知识，属于基础题．

练习册系列答案
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16．已知函数f（x）=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16．
（1）求a、b的值；
（2）若c=12，求f（x）在[-3，3]上的最大及最小值．
17．设变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤1\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$则点P（x+y，x-y）所在区域的面积为（　　）
A．2B．1C．$\frac{1}{2}$1D．$\frac{1}{4}$
14．“x＜0”是“x2+x＜0”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1．计算：
（1）（log43+log83）×$\frac{lg2}{lg3}$+log535-2log5$\frac{7}{3}$+ log57-log51.8
（2）$\root{4}{{（3-π{）^4}}}$+0.008${\;}^{-\frac{1}{3}}$-0.25${\;}^{\frac{1}{2}}$×（$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$）-4．
11．线性回归方程表示的直线=a+bx，必定过（　　）
A．（0，0）点B．（ $\overline{x}$，$\overline{y}$） 点C．（0，$\overline{y}$）点D．（ $\overline{x}$，0）点
18．已知集合A={x|（x-3）（x+2）＜0}，B={-4，-1，0，1，3}，则A∩B=（　　）
A．{-1，0，1}B．{-1，0，1，3}C．{0，1}D．{0，1，3}
15．已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若存在x∈[1，3]，使$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$+lnx=2成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（$\frac{1}{x}$）成立，求a的取值范围．
16．已知双曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx+1．
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为$\sqrt{2}$，求AB的长．

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