Question

5．设数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}满足b_n=a_n•log₂a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）n=1时，a₁=S₁=2，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^n}$，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2 ）由b_n=a_n•log₂a_n=${2}^{n}•lo{g}_{2}{2}^{n}$=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴n=1时，a₁=S₁=2，（2分）
${S_n}={2^{n+1}}-2$，∴${S_{n-1}}={2^n}-2$（n≥2）
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^n}$（n≥2），
n=1时，上式成立，
∴数列{a_n}的通项公式为：${a_n}={2^n}$．    （6分）
（ 2 ）∵b_n=a_n•log₂a_n=${2}^{n}•lo{g}_{2}{2}^{n}$=n•2ⁿ，（7分）
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}$=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，（10分）
∴${T_n}=（{n-1}）{2^{n+1}}+2$（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．