Question

2．设a∈R，函数f（x）=ax²+x-a（-1≤x≤1）．
（1）若|a|≤1，证明|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）求a的值，使函数f（x）有最大值$\frac{17}{8}$．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质配方求出|f（x）|的最大值即可；（2）根据函数f（x）有最大值，通过讨论a的范围，求出函数的最大值，解关于a的方程，即可求实数a的值．

解答 （1）证明：∵|x|≤1，|a|≤1，
∴|f（x）|=|a（x²-1）+x|≤|a（x²-1）|+|x|
=|a||（x²-1）|+|x|≤|x²-1|+|x|
=|1-x²|+|x|
=-${（|x|-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$≤$\frac{5}{4}$，
（2）当a=0时，f（x）=x（|x|≤1）．
此时函数f（x）的最大值为1，不满足条件；
当a＞0时，函数f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=1时，取最大值1，不满足条件；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，函数f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=1时，取最大值1，不满足条件；
当a≤-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=-$\frac{a}{2}$时，取最大值 $\frac{-{4a}^{2}-1}{4a}$=$\frac{17}{8}$，
解得：a=-$\frac{1}{8}$（舍去），或a=-2，
综上a=-2．

点评 本题考查函数的最值，考查解不等式，二次函数的性质，是一道中档题．