Question

10．设A={（x，y）||x|+|y|=2}（x，y∈R）．
（Ⅰ）若（x，y）∈A，试求u=x²+y²的取值范围；
（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w²+v²=x²+y²，（x，y）∈A}，试求集合B表示的区域面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若（x，y）∈A，表示的区域如图所示的正方形，即可求u=x²+y²的取值范围；
（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w²+v²=x²+y²，（x，y）∈A}，表示的区域是以原点为圆心，$\sqrt{2}$，2为半径的圆环，
即可求集合B表示的区域面积．

解答 解：（Ⅰ）A={（x，y）||x|+|y|=2}（x，y∈R），表示的区域如图所示的正方形，原点到区域的距离的范围是[$\sqrt{2}$，2]，
∴u=x²+y²的取值范围是[2，4]；
（Ⅱ）设集合B={（w，v）|w²+v²=x²+y²，（x，y）∈A}，表示的区域是以原点为圆心，$\sqrt{2}$，2为半径的圆环，
∴集合B表示的区域面积是π•2²-π•2=2π．

点评 本题考查集合的表示，考查学生的计算能力，正确理解集合是关键．