Question

12．命题p：对任意实数x都有x²+ax+1＞0恒成立；命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p，q成立的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．

解答 解：命题p：对任意实数x都有x²+ax+1＞0恒成立；
则判别式△=a²-4＜0，即-2＜a＜2，
命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根．
则判别式△=1-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p，q一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{4}$＜a＜2，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤-2}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即a≤-2，
综上a≤-2或$\frac{1}{4}$＜a＜2．

点评 本题主要考查复合命题的真假关系的应用，根据一元二次方程和一元二次不等式的性质求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．