Question

已知椭圆

x2

16

+

y2

9

=1上任一点P，直线l：x+y-6=0与两坐标轴分别交于A，B，则△ABP面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件，设P（4cosα，3sinα），由此能求出点P（4cosα，3sinα）到直线l：x+y-6=0的距离的最小值，由直线l的方程能求出A，B两点的坐标，由此能求出△ABP面积的最小值．

解答： 解：∵点P是椭圆

x2

16

+

y2

9

=1上任一点，
∴P（4cosα，3sinα），
∴点P（4cosα，3sinα）到直线l：x+y-6=0的距离：
d=

|4cosα+3sinα-6|

2

，
∴d_min=

| 16+9 -6|

2

=

2

2

，
∵直线l：x+y-6=0与两坐标轴分别交于A（6，0），B（0，6），
∴|AB|=

36+36

=2

6

，
∴△ABP面积的最小值=

1

2

×

2

2

×2

6

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，考查椭圆、直线方程、点到直线的距离公式的知识点，解题时要注意椭圆的参数方程的合理运用．