Question

已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b-c）cosA=acosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2

2

，并且边AB上的中线CM的长为

17

2

，求b，c的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cosA的值即可；
（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再利用三角形面积公式列出关系式，将sinA的值与已知面积代入求出bc=6①，再利用余弦定理列出关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式b（3b-c）cosA=abcosC，由正弦定理化简得：sinB（3sinB-sinC）cosA=sinAsinBcosC，
∵sinB≠0，
∴3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sinB，
∴cosA=

1

3

；
（Ⅱ）∵cosA=

1

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
由题意得：S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

2

，即bc=6①，
由余弦定理得：cosA=

b2+ c2 4 - 17 4

2b• c 2

=

1

3

，即4b²+c²=25②，
联立①②，解得：b=2，c=3或b=

3

2

，c=4．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．