Question

设全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥5}，B={x|x≤2}．求
（Ⅰ）∁_U（A∪B）；
（Ⅱ）记∁_U（A∪B）=D，C={x|2a-3≤x≤-a}，且C∩D=C，求a的取值范围．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：（Ⅰ）根据题意和并集的运算求出A∪B，再由补集的运算求出∁U（A∪B）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的集合D，由C∩D=C得C⊆D，根据子集的定义对C分类讨论，分别列出不等式求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，A={x|x≤-2或x≥5}，B={x|x≤2}
则A∪B={x|x≤2或x≥5}…（2分）
又全集U=R，∁_U（A∪B）={x|2＜x＜5}…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得D={x|2＜x＜5}，由C∩D=C得C⊆D…（5分）
①当C=∅时，有-a＜2a-3…（6分）
解得a＞1，…（7分）
②当C≠∅时．有

2a-3≤-a 2a-3＞2 -a＜5

…（8分）
解得a无解…（9分）
综上：a的取值范围为（1，+∞）…（10分）

点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，以及利用子集的关系求出参数的范围，注意空集是任何集合的子集．