Question

已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．
（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：：（1）设A′（a，b），则由点A关于直线l的对称点A′，利用垂直、和中点在对称轴上这两个条件求得a、b的值，可得A′的坐标．
（2）由于点A关于x轴的对称点A₂（2，-2），由线段的中垂线的性质可得|A′A₂|即为△ABC的周长的最小值，计算求得结果．

解答： 解：（1）设A′（a，b），则由点A关于直线l的对称点A′，
可得

b+2 2 =2× a+2 2 +1 b-2 a-2 ×2=-1

，解得

a=- 2 5 b= 16 5

，
故A′的坐标为（-

2

5

，

16

5

）．
（2）由于点A关于x轴的对称点A₂（2，-2），
|A′A₂|=

(- 2 5 -2)2+( 16 5 +2)2

=

2 205

5

，
∴△ABC的周长的最小值为

2 205

5

．

点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，以及线段的中垂线的性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．