Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0a、b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间x∈[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）由条件f（1-x）=f（1+x）得到图象对称轴为x=1，由方程f（x）=x得到方程根的判别式△=0，得到两个关于a、b的方程，解方程组得到本题结论；（2）将条件转化不恒成立问题，根据二次函数在区间上的值域，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）的对称轴为x+1 即-

b

2a

=1．
即b=-2a．
∵f（x）=x有两相等实根，
∴ax²+（b-1）x=0 的判别式（b-1）²-4a=0．
∴b=1，a=-

1

2

∴f（x）=-

1

2

x2+x．
（2）由已知：f（x）＞2x+m对x∈[-1，1]恒成立
∴m＜-

1

2

x2-x对于x∈[-1，1]恒成立
设g（x）=-

1

2

x2-x=-

1

2

(x+1)2+

1

2

，
该函数在x∈[-1，1]上递减，
∴[g（x）]_min=g（1）=-

3

2

，x∈[-1，1]，
∴m＜-

3

2

．

点评：本题考查了恒成立问题，还考查了参变量分离的方法和函数方程思想，本题难度不大，属于基础题．