Question

设a，b，c∈R，且a+b+c=2，a²+b²+c²=12，则c的最大值和最小值的差为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由a+b+c=2，有a+b=2-c．由a²+b²+c²=12知，（a+b）²-2ab+c²=12，代入可得（2-c）²-2ab+c²=12，整理得ab=c²-2c-4．于是a，b可以看成是关于x的方程x²-（2-c）x+c²-2c-4=0的两根，利用判别式即可得出．

解答： 解：由a+b+c=2，有a+b=2-c．
由a²+b²+c²=12知，（a+b）²-2ab+c²=12，
代入可得（2-c）²-2ab+c²=12，
整理得ab=c²-2c-4．
于是a，b可以看成是关于x的方程x²-（2-c）x+c²-2c-4=0的两根，
∴△=（2-c）2-4（c²-2c-4）≥0，解得-2≤c≤

10

3

，
于是最大值与最小值之差为

16

3

．
故答案为：

16

3

．

点评：本题考查了可转化为一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力，属于中档题．